1.سهلة
للمعادلة y″ + 6y′ + 8y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3,6y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3,6y′ + 9y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -2. أوجد y(1).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(1) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 91 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. بعد 19 min تكون درجة حرارتها 30 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 91 °CTa = 21 °CT(19) = 30 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 9e−3t مع y(0) = 0. أوجد y(1,5).
y′ + 0,5y = 9e−3ty(0) = 0
y(1.5) =
6.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 65 min؟
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. r = −2
- 2. ζ = 0,6
- 3. y(1) = 0,1465
- 4. k = 0,108 min⁻¹
- 5. y(1.5) = 1,661
- 6. m = 55,49 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.