1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 4 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 40 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 2 يومًا؟
m0 = 40 mgt½ = 4 dt = 2 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3,6y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3,6y′ + 36y = 0
ζ =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. بعد 30 min تكون درجة حرارتها 19 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 24 °CT(30) = 19 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
كوب قهوة عند 88 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. بعد 9 min تكون درجة حرارتها 63 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 43 °C؟
T0 = 88 °CTa = 18 °CT(9) = 63 °CT = 43 °C
t = min
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = x لـ x > 0، مع y(1) = 3. أوجد y(3).
y′ + y/x = xy(1) = 3
y(3) =
6.صعبة
حلّ y″ + 4y′ + 8y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 8y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 28,28 mg
- 2. ζ = 0,3
- 3. k = 0,0427 min⁻¹
- 4. t = 20,97 min
- 5. y(3) = 3,889
- 6. y(1) = 0,2002
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.