1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,8y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4,8y′ + 36y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 14 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 200 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 4 يومًا؟
m0 = 200 mgt½ = 14 dt = 4 d
m = mg
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 480 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. بعد 35 min تكون درجة حرارتها 134 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 480 °CTa = 21 °CT(35) = 134 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 7y′ + 12y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -4. أوجد y(0,5).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = -4
y(0.5) =
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 5 لـ x > 0، مع y(1) = −1. أوجد y(2).
y′ + 3y/x = 5y(1) = −1
y(2) =
6.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 4e−2t مع y(0) = 2. أوجد y(0,5).
y′ + 0,5y = 4e−2ty(0) = 2
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,4
- 2. m = 164,1 mg
- 3. k = 0,04005 min⁻¹
- 4. y(0.5) = 0,6219
- 5. y(2) = 2,219
- 6. y(0.5) = 2,653
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.