1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 6y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 6y′ + 100y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 400 عند t = 0 و 220 عند t = 6 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 400y(6) = 220
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 1. أوجد y(1).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 1
y(1) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. بعد 9 min تكون درجة حرارتها 74 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 53 °C؟
T0 = 90 °CTa = 21 °CT(9) = 74 °CT = 53 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 17y = 170 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.صعبة
حلّ y″ + 2y′ + 26y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 26y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,3
- 2. k = 0,09964 h⁻¹
- 3. y(1) = 4,047
- 4. t = 26,21 min
- 5. y(0.75) = 14,51
- 6. y(0.75) = −1,325
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.