1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 20 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 100 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 4 يومًا؟
m0 = 100 mgt½ = 20 dt = 4 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 3y′ + 2y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
3.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = -1. أوجد y(1,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 5y′(0) = -1
y(1.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. بعد 27 min تكون درجة حرارتها 249 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 21 °CT(27) = 249 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ y′ + 3y = 2e−t مع y(0) = 2. أوجد y(1).
y′ + 3y = 2e−ty(0) = 2
y(1) =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 3 لـ x > 0، مع y(1) = 3. أوجد y(2).
y′ + y/x = 3y(1) = 3
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 87,06 mg
- 2. r = −1
- 3. y(1.5) = 0,08304
- 4. k = 0,01004 min⁻¹
- 5. y(1) = 0,4177
- 6. y(2) = 3,75
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.