1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 5000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,28 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 25000 خلية؟
N0 = 5000k = 0,28 h⁻¹N = 25000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 16 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 200 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 27 يومًا؟
m0 = 200 mgt½ = 16 dt = 27 d
m = mg
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 14 min.
T0 = 6 °CTa = 28 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 14 min
T = °C
4.متوسطة
كوب قهوة عند 85 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,1 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 5 min.
T0 = 85 °CTa = 18 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 5 min
T = °C
5.صعبة
حلّ y′ + 2y = 3e−t مع y(0) = 1. أوجد y(1).
y′ + 2y = 3e−ty(0) = 1
y(1) =
6.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 27,25y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. t = 5,748 h
- 2. m = 62,09 mg
- 3. T = 15,43 °C
- 4. T = 58,64 °C
- 5. y(1) = 0,833
- 6. y(1.5) = 0,331
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.