1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,26 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 2500 خلية؟
N0 = 500k = 0,26 h⁻¹N = 2500
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 160 عند t = 11 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(11) = 160
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. بعد 7 min تكون درجة حرارتها 13 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 24 °CT(7) = 13 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 19 min تكون درجة حرارتها 162 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 209 °C؟
T0 = 320 °CTa = 24 °CT(19) = 162 °CT = 209 °C
t = min
5.صعبة
حلّ y″ + 3y′ + 27,25y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(1.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 5y = 5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 5y = 5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. t = 6,19 h
- 2. k = 0,04273 h⁻¹
- 3. k = 0,07035 min⁻¹
- 4. t = 11,7 min
- 5. y(1.5) = 0,331
- 6. y(1.5) = 1,205
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.