1.سهلة
للمعادلة y″ + 3y′ + 2y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 0,8y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 0,8y′ + 4y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 92 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. بعد 6 min تكون درجة حرارتها 56 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 31 °C؟
T0 = 92 °CTa = 18 °CT(6) = 56 °CT = 31 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. بعد 18 min تكون درجة حرارتها 16 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 29 °CT(18) = 16 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 26y = 130 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 26y = 130y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 17y = 170 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 17y = 170y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −1
- 2. ζ = 0,2
- 3. t = 15,66 min
- 4. k = 0,0317 min⁻¹
- 5. ymax = 7,667
- 6. ymax = 14,56
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.