1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 400 عند t = 0 و 1320 عند t = 12 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 400y(12) = 1320
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 9y′ + 18y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 9y′ + 18y = 0
r =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 28 min.
T0 = 5 °CTa = 22 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 28 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = -2. أوجد y(0,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 3y′(0) = -2
y(0.5) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 20y = 40 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 20y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 11,25y = 56,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,09949 h⁻¹
- 2. r = −3
- 3. T = 14,66 °C
- 4. y(0.5) = 1,45
- 5. ymax = 2,416
- 6. y(0.25) = 1,314
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.