1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 14,4y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 14,4y′ + 36y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 8y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 8y′ + 100y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 8y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -2. أوجد y(1).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(1) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 28 °C. بعد 14 min تكون درجة حرارتها 234 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 300 °CTa = 28 °CT(14) = 234 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 5y = 5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 5y = 5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 53 kg من الملح؟
V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 20 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 1,2
- 2. ζ = 0,4
- 3. y(1) = 0,3877
- 4. k = 0,01985 min⁻¹
- 5. ymax = 1,208
- 6. t = 17,59 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.