1.سهلة
للمعادلة y″ + 5y′ + 6y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 5y′ + 6y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,07 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 7 h؟
N0 = 1500k = 0,07 h⁻¹t = 7 h
N =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 31 min تكون درجة حرارتها 115 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 273 °C؟
T0 = 340 °CTa = 24 °CT(31) = 115 °CT = 273 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,09 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 7 min.
T0 = 5 °CTa = 28 °Ck = 0,09 min⁻¹t = 7 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 4,25y = 8,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 4,25y = 8,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 5y = 5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 5y = 5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −2
- 2. N = 2448
- 3. t = 5,934 min
- 4. T = 15,75 °C
- 5. y(1.5) = 2,902
- 6. y(0.5) = 0,4171
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.