1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 2y′ + 16y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 2y′ + 16y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 200 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,24 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 400 خلية؟
N0 = 200k = 0,24 h⁻¹N = 400
t = h
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 360 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. بعد 27 min تكون درجة حرارتها 175 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 26 °CT(27) = 175 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 8y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 4. أوجد y(1,5).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 1y′(0) = 4
y(1.5) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 27,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.صعبة
حلّ y′ + 2y = 6e−0,5t مع y(0) = 3. أوجد y(2).
y′ + 2y = 6e−0,5ty(0) = 3
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,25
- 2. t = 2,888 h
- 3. k = 0,0299 min⁻¹
- 4. y(1.5) = 0,1917
- 5. y(1) = 1,001
- 6. y(2) = 1,453
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.