1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 12,8y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 12,8y′ + 64y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 50 عند t = 0 و 20 عند t = 4 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 50y(4) = 20
k = h⁻¹
3.متوسطة
كوب قهوة عند 83 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. بعد 16 min تكون درجة حرارتها 39 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 52 °C؟
T0 = 83 °CTa = 22 °CT(16) = 39 °CT = 52 °C
t = min
4.متوسطة
كوب قهوة عند 92 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. بعد 19 min تكون درجة حرارتها 28 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 73 °C؟
T0 = 92 °CTa = 21 °CT(19) = 28 °CT = 73 °C
t = min
5.صعبة
حلّ y″ + y′ + 4,25y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 4,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(1) =
6.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 9 kg من الملح؟
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,05 kg/Lr = 2 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,8
- 2. k = 0,2291 h⁻¹
- 3. t = 8,887 min
- 4. t = 2,554 min
- 5. y(1) = −0,1145
- 6. t = 160,9 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.