1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 8 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 10 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 4 يومًا؟
m0 = 10 mgt½ = 8 dt = 4 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,23 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 21 h؟
N0 = 1000k = 0,23 h⁻¹t = 21 h
N =
3.متوسطة
حلّ y″ + 5y′ + 6y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 2. أوجد y(1).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 1y′(0) = 2
y(1) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 89 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 8 min.
T0 = 89 °CTa = 23 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 8 min
T = °C
5.صعبة
خزان يحتوي 200 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 20 min؟
V = 200 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
6.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 161 kg من الملح؟
V = 1000 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. m = 7,071 mg
- 2. N = 125211
- 3. y(1) = 0,4775
- 4. T = 57,8 °C
- 5. m = 7,719 kg
- 6. t = 321,9 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.