1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 400 عند t = 0 و 280 عند t = 4 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 400y(4) = 280
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,3 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 2 h؟
N0 = 1500k = 0,3 h⁻¹t = 2 h
N =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 460 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,02 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 48 min.
T0 = 460 °CTa = 26 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 48 min
T = °C
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 480 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 30 °C. بعد 47 min تكون درجة حرارتها 311 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 480 °CTa = 30 °CT(47) = 311 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 2 لـ x > 0، مع y(1) = −2. أوجد y(3).
y′ + 3y/x = 2y(1) = −2
y(3) =
6.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 32 kg من الملح؟
V = 500 Lm0 = 5 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,08917 h⁻¹
- 2. N = 2733
- 3. T = 192,2 °C
- 4. k = 0,01002 min⁻¹
- 5. y(3) = 1,407
- 6. t = 229,1 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.