1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 200 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,22 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 1000 خلية؟
N0 = 200k = 0,22 h⁻¹N = 1000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 8y′ + 15y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 8y′ + 15y = 0
r =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 460 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 11 min.
T0 = 460 °CTa = 20 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 11 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = -1. أوجد y(0,5).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = -1
y(0.5) =
5.صعبة
خزان يحتوي 100 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 16 kg من الملح؟
V = 100 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 5 L/min
t = min
6.صعبة
خزان يحتوي 400 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 20 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 50 kg من الملح؟
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 20 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. t = 7,316 h
- 2. r = −3
- 3. T = 273,9 °C
- 4. y(0.5) = 1,15
- 5. t = 26,44 min
- 6. t = 13,86 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.