1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,15 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 10000 خلية؟
N0 = 1000k = 0,15 h⁻¹N = 10000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 50 عند t = 0 و 130 عند t = 11 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 50y(11) = 130
k = h⁻¹
3.متوسطة
كوب قهوة عند 80 °C تُرك في غرفة عند 18 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,06 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 18 min.
T0 = 80 °CTa = 18 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 18 min
T = °C
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 360 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 23 °C. بعد 44 min تكون درجة حرارتها 163 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 360 °CTa = 23 °CT(44) = 163 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 2y/x = 1 لـ x > 0، مع y(1) = −1. أوجد y(2).
y′ + 2y/x = 1y(1) = −1
y(2) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 20y = 40 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 20y = 40y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. t = 15,35 h
- 2. k = 0,08686 h⁻¹
- 3. T = 39,05 °C
- 4. k = 0,01996 min⁻¹
- 5. y(2) = 0,3333
- 6. ymax = 2,416
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.