1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 340 عند t = 2 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(2) = 340
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 5000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,27 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 25000 خلية؟
N0 = 5000k = 0,27 h⁻¹N = 25000
t = h
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 500 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,02 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 39 min.
T0 = 500 °CTa = 22 °Ck = 0,02 min⁻¹t = 39 min
T = °C
4.متوسطة
كوب قهوة عند 93 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. بعد 28 min تكون درجة حرارتها 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 93 °CTa = 20 °CT(28) = 23 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 13y = 13 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 13y = 13y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 10y = 20 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 10y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,6119 h⁻¹
- 2. t = 5,961 h
- 3. T = 241,1 °C
- 4. k = 0,114 min⁻¹
- 5. y(0.5) = 0,7293
- 6. ymax = 2,702
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.