1.سهلة
للمعادلة y″ + 5y′ + 4y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 200 عند t = 0 و 160 عند t = 6 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 200y(6) = 160
k = h⁻¹
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 500 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 28 °C. بعد 19 min تكون درجة حرارتها 295 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 439 °C؟
T0 = 500 °CTa = 28 °CT(19) = 295 °CT = 439 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 25 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 17 min.
T0 = 3 °CTa = 25 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 17 min
T = °C
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 3x2 لـ x > 0، مع y(1) = 3. أوجد y(3).
y′ + y/x = 3x2y(1) = 3
y(3) =
6.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 44 kg من الملح؟
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,1 kg/Lr = 2 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. r = −1
- 2. k = 0,03719 h⁻¹
- 3. t = 4,615 min
- 4. T = 13,85 °C
- 5. y(3) = 21
- 6. t = 402,4 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.