1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 260 عند t = 6 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(6) = 260
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 7y′ + 12y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 22 °C. بعد 26 min تكون درجة حرارتها 17 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 9 °C؟
T0 = 5 °CTa = 22 °CT(26) = 17 °CT = 9 °C
t = min
4.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = -1. أوجد y(1,5).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = -1
y(1.5) =
5.صعبة
حلّ y″ + 2y′ + 5y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.25) =
6.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 92 kg من الملح؟
V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,1593 h⁻¹
- 2. r = −3
- 3. t = 5,699 min
- 4. y(1.5) = 0,5228
- 5. y(0.25) = 2,61
- 6. t = 255,4 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.