1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,5y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,5y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 8,4y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 8,4y′ + 36y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 1. أوجد y(1,5).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = 1
y(1.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 24 °C. بعد 48 min تكون درجة حرارتها 130 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 66 °C؟
T0 = 300 °CTa = 24 °CT(48) = 130 °CT = 66 °C
t = min
5.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 23 kg من الملح؟
V = 500 Lm0 = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
t = min
6.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 85 min؟
V = 1000 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,25
- 2. ζ = 0,7
- 3. y(1.5) = 1,07
- 4. t = 94,44 min
- 5. t = 114,5 min
- 6. m = 116,7 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.