1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 8 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 100 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 20 يومًا؟
m0 = 100 mgt½ = 8 dt = 20 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 200 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,1 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 1000 خلية؟
N0 = 200k = 0,1 h⁻¹N = 1000
t = h
3.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 1. أوجد y(1,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 3y′(0) = 1
y(1.5) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. بعد 11 min تكون درجة حرارتها 65 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 41 °C؟
T0 = 90 °CTa = 21 °CT(11) = 65 °CT = 41 °C
t = min
5.صعبة
حلّ y″ + 2y′ + 5y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 5y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.25) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 17,68 mg
- 2. t = 16,09 h
- 3. y(1.5) = 0,2
- 4. t = 30,28 min
- 5. y(0.25) = 0,8702
- 6. ymax = 13,9
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.