1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 9,6y′ + 36y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 9,6y′ + 36y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 500 عند t = 0 و 400 عند t = 7 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 500y(7) = 400
k = h⁻¹
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 360 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 27 °C. بعد 15 min تكون درجة حرارتها 274 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 113 °C؟
T0 = 360 °CTa = 27 °CT(15) = 274 °CT = 113 °C
t = min
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 22 °C. بعد 27 min تكون درجة حرارتها 18 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 6 °CTa = 22 °CT(27) = 18 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ y″ + y′ + 9,25y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 9,25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.5) =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 4 لـ x > 0، مع y(1) = 2. أوجد y(3).
y′ + y/x = 4y(1) = 2
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,8
- 2. k = 0,03188 h⁻¹
- 3. t = 67,97 min
- 4. k = 0,05134 min⁻¹
- 5. y(0.5) = 0,5537
- 6. y(3) = 6
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.