1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 80 عند t = 0 و 296 عند t = 3 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 80y(3) = 296
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 250 عند t = 0 و 175 عند t = 10 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 250y(10) = 175
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 3 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,08 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 5 min.
T0 = 3 °CTa = 24 °Ck = 0,08 min⁻¹t = 5 min
T = °C
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,06 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 9 min.
T0 = 4 °CTa = 28 °Ck = 0,06 min⁻¹t = 9 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 18,25y = 18,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
خزان يحتوي 400 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 50 kg من الملح؟
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,25 kg/Lr = 2 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,4361 h⁻¹
- 2. k = 0,03567 h⁻¹
- 3. T = 9,923 °C
- 4. T = 14,01 °C
- 5. ymax = 1,308
- 6. t = 138,6 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.