1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 500 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,16 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 15 h؟
N0 = 500k = 0,16 h⁻¹t = 15 h
N =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 11 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 10 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 14 يومًا؟
m0 = 10 mgt½ = 11 dt = 14 d
m = mg
3.متوسطة
حلّ y″ + 7y′ + 12y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 2. أوجد y(1).
y″ + 7y′ + 12y = 0y(0) = 2y′(0) = 2
y(1) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 27 °C. بعد 38 min تكون درجة حرارتها 91 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 320 °CTa = 27 °CT(38) = 91 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
خزان يحتوي 400 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,25 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 70 min؟
V = 400 Lm0 = 20 kgc = 0,25 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 13y = 26 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 13y = 26y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. N = 5512
- 2. m = 4,139 mg
- 3. y(1) = 0,3513
- 4. k = 0,04003 min⁻¹
- 5. m = 66,65 kg
- 6. y(1) = 2,242
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.