1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 16 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 20 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 4 يومًا؟
m0 = 20 mgt½ = 16 dt = 4 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 7,2y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 7,2y′ + 9y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 29 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 60 min.
T0 = 420 °CTa = 29 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 60 min
T = °C
4.متوسطة
كوب قهوة عند 91 °C تُرك في غرفة عند 24 °C. بعد 24 min تكون درجة حرارتها 32 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 91 °CTa = 24 °CT(24) = 32 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 4,25y = 21,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 4,25y = 21,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.صعبة
حلّ y″ + 2y′ + 10y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 10y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 16,82 mg
- 2. ζ = 1,2
- 3. T = 64,47 °C
- 4. k = 0,08855 min⁻¹
- 5. y(1) = 5,573
- 6. y(0.5) = 0,7337
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.