1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3,2y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3,2y′ + 64y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 28 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 66 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 28 dt = 66 d
m = mg
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. بعد 25 min تكون درجة حرارتها 27 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 20 °C؟
T0 = 4 °CTa = 29 °CT(25) = 27 °CT = 20 °C
t = min
4.متوسطة
كوب قهوة عند 83 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. بعد 26 min تكون درجة حرارتها 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 83 °CTa = 19 °CT(26) = 23 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ y″ + y′ + 25,25y = 0 مع y(0) = 1 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 25,25y = 0y(0) = 1y′(0) = 0
y(0.5) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 10y = 100 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 10y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,2
- 2. m = 9,759 mg
- 3. t = 10,11 min
- 4. k = 0,1066 min⁻¹
- 5. y(0.5) = −0,5773
- 6. y(1) = 13,47
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.