1.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 144 عند t = 2 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(2) = 144
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 8y′ + 12y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 8y′ + 12y = 0
r =
3.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 2. أوجد y(2).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 5y′(0) = 2
y(2) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 29 °C. بعد 59 min تكون درجة حرارتها 66 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 44 °C؟
T0 = 420 °CTa = 29 °CT(59) = 66 °CT = 44 °C
t = min
5.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 2 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 65 min؟
V = 1000 Lm0 = 20 kgc = 0,2 kg/Lr = 2 L/min
m = kg
6.صعبة
حلّ y′ + y = 9e−3t مع y(0) = 2. أوجد y(1).
y′ + y = 9e−3ty(0) = 2
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,09116 h⁻¹
- 2. r = −2
- 3. y(2) = 2,571
- 4. t = 81,59 min
- 5. m = 41,94 kg
- 6. y(1) = 2,167
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.