1.سهلة
للمعادلة y″ + 6y′ + 8y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 6y′ + 8y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 9y′ + 18y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 9y′ + 18y = 0
r =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 22 °C. بعد 11 min تكون درجة حرارتها 15 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 12 °C؟
T0 = 6 °CTa = 22 °CT(11) = 15 °CT = 12 °C
t = min
4.متوسطة
كوب قهوة عند 86 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,07 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 23 min.
T0 = 86 °CTa = 21 °Ck = 0,07 min⁻¹t = 23 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 4e−t مع y(0) = 0. أوجد y(0,5).
y′ + 3y = 4e−ty(0) = 0
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −2
- 2. r = −3
- 3. t = 6,254 min
- 4. T = 33,99 °C
- 5. ymax = 6,539
- 6. y(0.5) = 0,7668
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.