1.سهلة
للمعادلة y″ + 4y′ + 3y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 4y′ + 3y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 29 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 120 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 54 يومًا؟
m0 = 120 mgt½ = 29 dt = 54 d
m = mg
3.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 16y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 4. أوجد y(2).
y″ + 8y′ + 16y = 0y(0) = 3y′(0) = 4
y(2) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 25 °C. بعد 47 min تكون درجة حرارتها 187 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 440 °CTa = 25 °CT(47) = 187 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y′ + 3y = 5e−0,5t مع y(0) = 1. أوجد y(0,5).
y′ + 3y = 5e−0,5ty(0) = 1
y(0.5) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −1
- 2. m = 33,01 mg
- 3. y(2) = 0,01174
- 4. k = 0,02001 min⁻¹
- 5. ymax = 6,539
- 6. y(0.5) = 1,334
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.