1.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 2000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,17 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 10000 خلية؟
N0 = 2000k = 0,17 h⁻¹N = 10000
t = h
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 8 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 80 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 7 يومًا؟
m0 = 80 mgt½ = 8 dt = 7 d
m = mg
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 320 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 18 min.
T0 = 320 °CTa = 22 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 18 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -2. أوجد y(2).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = -2
y(2) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 25,25y = 25,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 25,25y = 25,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 6,25y = 62,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 6,25y = 62,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. t = 9,467 h
- 2. m = 43,62 mg
- 3. T = 143,2 °C
- 4. y(2) = 0,1099
- 5. y(0.75) = 1,603
- 6. y(1) = 9,407
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.