1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,8y′ + 64y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4,8y′ + 64y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 200 عند t = 0 و 90 عند t = 12 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 200y(12) = 90
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 3y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 1. أوجد y(0,5).
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 5y′(0) = 1
y(0.5) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 23 min.
T0 = 90 °CTa = 20 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 23 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 10y = 100 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 10y = 100y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y″ + 2y′ + 17y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 17y = 0y(0) = 5y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,3
- 2. k = 0,06654 h⁻¹
- 3. y(0.5) = 4,183
- 4. T = 42,16 °C
- 5. ymax = 13,51
- 6. y(0.75) = −2,255
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.