1.سهلة
للمعادلة y″ + 3y′ + 2y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 3y′ + 2y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 28 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 100 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 6 يومًا؟
m0 = 100 mgt½ = 28 dt = 6 d
m = mg
3.متوسطة
كوب قهوة عند 85 °C تُرك في غرفة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 25 min.
T0 = 85 °CTa = 22 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 25 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = 2. أوجد y(2).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 5y′(0) = 2
y(2) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 8y = 8 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 8y = 8y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + y/x = 3 لـ x > 0، مع y(1) = 3. أوجد y(3).
y′ + y/x = 3y(1) = 3
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −1
- 2. m = 86,2 mg
- 3. T = 40,05 °C
- 4. y(2) = 0,5312
- 5. ymax = 1,043
- 6. y(3) = 5
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.