1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 5,6y′ + 16y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 5,6y′ + 16y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 400 عند t = 0 و 1160 عند t = 11 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 400y(11) = 1160
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 3y = 0 مع y(0) = 5 وy′(0) = -2. أوجد y(1).
y″ + 4y′ + 3y = 0y(0) = 5y′(0) = -2
y(1) =
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. بعد 23 min تكون درجة حرارتها 21 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 4 °CTa = 24 °CT(23) = 21 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 5y = 10 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 5y = 10y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y′ + y = 2e−3t مع y(0) = 1. أوجد y(2).
y′ + y = 2e−3ty(0) = 1
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,7
- 2. k = 0,09679 h⁻¹
- 3. y(1) = 2,317
- 4. k = 0,08248 min⁻¹
- 5. ymax = 2,416
- 6. y(2) = 0,2682
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.