1.سهلة
للمعادلة y″ + 7y′ + 10y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 7y′ + 10y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,2y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4,2y′ + 9y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 81 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. بعد 14 min تكون درجة حرارتها 60 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 81 °CTa = 20 °CT(14) = 60 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 480 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 26 °C. بعد 47 min تكون درجة حرارتها 137 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 65 °C؟
T0 = 480 °CTa = 26 °CT(47) = 137 °CT = 65 °C
t = min
5.صعبة
حلّ y′ + 0,5y = 5e−t مع y(0) = 4. أوجد y(0,5).
y′ + 0,5y = 5e−ty(0) = 4
y(0.5) =
6.صعبة
حلّ y″ + y′ + 16,25y = 0 مع y(0) = 10 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 16,25y = 0y(0) = 10y′(0) = 0
y(0.25) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −2
- 2. ζ = 0,7
- 3. k = 0,03014 min⁻¹
- 4. t = 81,9 min
- 5. y(0.5) = 4,838
- 6. y(0.25) = 5,696
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.