1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 90 عند t = 10 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(10) = 90
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 5000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,06 h⁻¹. بعد كم ساعة t يصبح عددها 50000 خلية؟
N0 = 5000k = 0,06 h⁻¹N = 50000
t = h
3.متوسطة
كوب قهوة عند 92 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. بعد 14 min تكون درجة حرارتها 61 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 92 °CTa = 20 °CT(14) = 61 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 340 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 23 °C. بعد 22 min تكون درجة حرارتها 129 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 60 °C؟
T0 = 340 °CTa = 23 °CT(22) = 129 °CT = 60 °C
t = min
5.صعبة
خزان يحتوي 1000 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,1 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 35 min؟
V = 1000 Lm0 = 0 kgc = 0,1 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 9,25y = 92,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 9,25y = 92,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,02877 h⁻¹
- 2. t = 38,38 h
- 3. k = 0,04022 min⁻¹
- 4. t = 43,14 min
- 5. m = 16,05 kg
- 6. y(1) = 15,86
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.