1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 27 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 200 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 44 يومًا؟
m0 = 200 mgt½ = 27 dt = 44 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 220 عند t = 6 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(6) = 220
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 8y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = -4. أوجد y(1,5).
y″ + 6y′ + 8y = 0y(0) = 3y′(0) = -4
y(1.5) =
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 28 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 16 min.
T0 = 6 °CTa = 28 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 16 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 4,25y = 42,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 4,25y = 42,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1) =
6.صعبة
حلّ y″ + 4y′ + 29y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(1)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 29y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(1) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 64,63 mg
- 2. k = 0,1314 h⁻¹
- 3. y(1.5) = 0,1967
- 4. T = 14,39 °C
- 5. y(1) = 11,15
- 6. y(1) = −0,02704
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.