1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 72 عند t = 11 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(11) = 72
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 1,5y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 1,5y′ + 9y = 0
ζ =
3.متوسطة
حلّ y″ + 5y′ + 6y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -4. أوجد y(1,5).
y″ + 5y′ + 6y = 0y(0) = 2y′(0) = -4
y(1.5) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 25 °C. بعد 29 min تكون درجة حرارتها 257 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 106 °C؟
T0 = 440 °CTa = 25 °CT(29) = 257 °CT = 106 °C
t = min
5.صعبة
خزان يحتوي 500 L من الماء أُذيب فيه 10 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 5 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 70 min؟
V = 500 Lm0 = 10 kgc = 0,05 kg/Lr = 5 L/min
m = kg
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 17y = 34 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 17y = 34y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,04644 h⁻¹
- 2. ζ = 0,25
- 3. y(1.5) = 0,09957
- 4. t = 81,47 min
- 5. m = 17,55 kg
- 6. ymax = 2,912
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.