1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 5 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 20 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 8 يومًا؟
m0 = 20 mgt½ = 5 dt = 8 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 5y′ + 4y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 5y′ + 4y = 0
r =
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,04 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 27 min.
T0 = 4 °CTa = 23 °Ck = 0,04 min⁻¹t = 27 min
T = °C
4.متوسطة
حلّ y″ + 8y′ + 15y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -4. أوجد y(1).
y″ + 8y′ + 15y = 0y(0) = 2y′(0) = -4
y(1) =
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 6x2 لـ x > 0، مع y(1) = 1. أوجد y(3).
y′ + 3y/x = 6x2y(1) = 1
y(3) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 4,25y = 8,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 4,25y = 8,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 6,598 mg
- 2. r = −1
- 3. T = 16,55 °C
- 4. y(1) = 0,1426
- 5. y(3) = 27
- 6. ymax = 2,912
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.