1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 5 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 6 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 5 dt = 6 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 15y′ + 25y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 15y′ + 25y = 0
ζ =
3.متوسطة
كوب قهوة عند 90 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,1 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 29 min.
T0 = 90 °CTa = 23 °Ck = 0,1 min⁻¹t = 29 min
T = °C
4.متوسطة
كوب قهوة عند 91 °C تُرك في غرفة عند 20 °C. بعد 26 min تكون درجة حرارتها 27 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 22 °C؟
T0 = 91 °CTa = 20 °CT(26) = 27 °CT = 22 °C
t = min
5.صعبة
خزان يحتوي 100 L من الماء أُذيب فيه 10 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 25 min؟
V = 100 Lm0 = 10 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 16,25y = 16,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 16,25y = 16,25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.25) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 21,76 mg
- 2. ζ = 1,5
- 3. T = 26,69 °C
- 4. t = 40,06 min
- 5. m = 16,32 kg
- 6. y(0.25) = 0,4304
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.