1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 10 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 50 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 13 يومًا؟
m0 = 50 mgt½ = 10 dt = 13 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 7y′ + 10y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 7y′ + 10y = 0
r =
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 1. أوجد y(1).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 3y′(0) = 1
y(1) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 380 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. بعد 38 min تكون درجة حرارتها 266 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 380 °CTa = 20 °CT(38) = 266 °C
k = min⁻¹
5.صعبة
حلّ y′ + 3y = 9e−2t مع y(0) = 4. أوجد y(1,5).
y′ + 3y = 9e−2ty(0) = 4
y(1.5) =
6.صعبة
خزان يحتوي 100 L من الماء أُذيب فيه 20 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,05 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 5 min؟
V = 100 Lm0 = 20 kgc = 0,05 kg/Lr = 4 L/min
m = kg
مفتاح الإجابات
- 1. m = 20,31 mg
- 2. r = −2
- 3. y(1) = 1,353
- 4. k = 0,01002 min⁻¹
- 5. y(1.5) = 0,3925
- 6. m = 17,28 kg
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.