1.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 100 عند t = 0 و 65 عند t = 11 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 100y(11) = 65
k = h⁻¹
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 29 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 40 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 41 يومًا؟
m0 = 40 mgt½ = 29 dt = 41 d
m = mg
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 460 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 23 °C. بعد 57 min تكون درجة حرارتها 270 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 134 °C؟
T0 = 460 °CTa = 23 °CT(57) = 270 °CT = 134 °C
t = min
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 29 °C. بعد 34 min تكون درجة حرارتها 127 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 196 °C؟
T0 = 300 °CTa = 29 °CT(34) = 127 °CT = 196 °C
t = min
5.صعبة
خزان يحتوي 400 L من الماء النقي. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 10 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. كم من الملح m يوجد في الخزان بعد 15 min؟
V = 400 Lm0 = 0 kgc = 0,2 kg/Lr = 10 L/min
m = kg
6.صعبة
حلّ y″ + 4y′ + 29y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,25)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 29y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.25) =
مفتاح الإجابات
- 1. k = 0,03916 h⁻¹
- 2. m = 15,01 mg
- 3. t = 136,9 min
- 4. t = 16,18 min
- 5. m = 25,02 kg
- 6. y(0.25) = 0,843
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.