1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 30y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 30y′ + 100y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3,2y′ + 4y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3,2y′ + 4y = 0
ζ =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 300 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 22 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 51 min.
T0 = 300 °CTa = 22 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 51 min
T = °C
4.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 4 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 24 °C. بعد 18 min تكون درجة حرارتها 14 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 11 °C؟
T0 = 4 °CTa = 24 °CT(18) = 14 °CT = 11 °C
t = min
5.صعبة
حلّ y″ + 4y′ + 20y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 4y′ + 20y = 0y(0) = 2y′(0) = 0
y(0.75) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 10y = 20 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 10y = 20y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 1,5
- 2. ζ = 0,8
- 3. T = 43,71 °C
- 4. t = 11,19 min
- 5. y(0.75) = −0,4103
- 6. ymax = 2,702
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.