1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 4 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 20 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 11 يومًا؟
m0 = 20 mgt½ = 4 dt = 11 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 500 عند t = 0 و 1000 عند t = 5 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 500y(5) = 1000
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 5 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 29 °C. بعد 8 min تكون درجة حرارتها 18 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 25 °C؟
T0 = 5 °CTa = 29 °CT(8) = 18 °CT = 25 °C
t = min
4.متوسطة
كوب قهوة عند 84 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. بعد 26 min تكون درجة حرارتها 26 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 25 °C؟
T0 = 84 °CTa = 23 °CT(26) = 26 °CT = 25 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 11,25y = 112,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 4y′ + 13y = 65 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 4y′ + 13y = 65y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 2,973 mg
- 2. k = 0,1386 h⁻¹
- 3. t = 18,37 min
- 4. t = 29,5 min
- 5. y(0.75) = 10,78
- 6. ymax = 5,616
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.