1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 3,2y′ + 16y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 3,2y′ + 16y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 17 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 10 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 2 يومًا؟
m0 = 10 mgt½ = 17 dt = 2 d
m = mg
3.متوسطة
كوب قهوة عند 93 °C تُرك في غرفة عند 24 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,05 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 20 min.
T0 = 93 °CTa = 24 °Ck = 0,05 min⁻¹t = 20 min
T = °C
4.متوسطة
كوب قهوة عند 83 °C تُرك في غرفة عند 21 °C. بعد 25 min تكون درجة حرارتها 32 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 52 °C؟
T0 = 83 °CTa = 21 °CT(25) = 32 °CT = 52 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 5y = 25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 2y′ + 5y = 25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
خزان يحتوي 400 L من الماء أُذيب فيه 5 kg من الملح. محلول ملحي يحتوي 0,2 kg من الملح لكل لتر يتدفّق إلى الداخل بمعدل 4 L/min، ويخرج المحلول جيد الخلط بالمعدل نفسه. بعد كم دقيقة t يحتوي الخزان 28 kg من الملح؟
V = 400 Lm0 = 5 kgc = 0,2 kg/Lr = 4 L/min
t = min
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,4
- 2. m = 9,217 mg
- 3. T = 49,38 °C
- 4. t = 10,02 min
- 5. ymax = 6,039
- 6. t = 36,62 min
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.