1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 14y′ + 100y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 14y′ + 100y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
مزرعة بكتيرية تبدأ بـ 1000 خلية وتنمو وفق dN/dt = k·N مع k = 0,16 h⁻¹. كم خلية N توجد بعد 17 h؟
N0 = 1000k = 0,16 h⁻¹t = 17 h
N =
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 460 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 20 °C. بعد 28 min تكون درجة حرارتها 271 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). أوجد الثابت k بالـ min⁻¹.
T0 = 460 °CTa = 20 °CT(28) = 271 °C
k = min⁻¹
4.متوسطة
حلّ y″ + 6y′ + 9y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0. أوجد y(0,5).
y″ + 6y′ + 9y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.5) =
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 4,25y = 8,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 4,25y = 8,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ y″ + y′ + 16,25y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0 (تُترك من السكون). أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 16,25y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,7
- 2. N = 15180
- 3. k = 0,02005 min⁻¹
- 4. y(0.5) = 1,673
- 5. ymax = 2,912
- 6. y(0.75) = −2,005
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.