1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 4,8y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 4,8y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
للمعادلة y″ + 7y′ + 12y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 7y′ + 12y = 0
r =
3.متوسطة
حلّ y″ + 4y′ + 4y = 0 مع y(0) = 2 وy′(0) = -1. أوجد y(1).
y″ + 4y′ + 4y = 0y(0) = 2y′(0) = -1
y(1) =
4.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 420 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 21 °C. بعد 43 min تكون درجة حرارتها 190 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 259 °C؟
T0 = 420 °CTa = 21 °CT(43) = 190 °CT = 259 °C
t = min
5.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 6x لـ x > 0، مع y(1) = 4. أوجد y(3).
y′ + 3y/x = 6xy(1) = 4
y(3) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 4,25y = 42,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + y′ + 4,25y = 42,5y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,8
- 2. r = −3
- 3. y(1) = 0,6767
- 4. t = 25,86 min
- 5. y(3) = 10,9
- 6. ymax = 14,56
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.