1.سهلة
للمعادلة y″ + 8y′ + 15y = 0، أوجد جذر المعادلة المميِّزة r الأقرب إلى الصفر. إنه يحدد مدى بطء تلاشي الحل.
y″ + 8y′ + 15y = 0
r =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 500 عند t = 0 و 1350 عند t = 7 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 500y(7) = 1350
k = h⁻¹
3.متوسطة
حلّ y″ + 2y′ + y = 0 مع y(0) = 3 وy′(0) = 0. أوجد y(2).
y″ + 2y′ + y = 0y(0) = 3y′(0) = 0
y(2) =
4.متوسطة
كوب قهوة عند 87 °C تُرك في غرفة عند 24 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,12 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 10 min.
T0 = 87 °CTa = 24 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 10 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد القيمة العظمى ymax لاستجابته للدخل الدرجي.
y″ + 3y′ + 18,25y = 91,25y(0) = 0y′(0) = 0
ymax =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 5 لـ x > 0، مع y(1) = 2. أوجد y(3).
y′ + 3y/x = 5y(1) = 2
y(3) =
مفتاح الإجابات
- 1. r = −3
- 2. k = 0,1419 h⁻¹
- 3. y(2) = 1,218
- 4. T = 42,98 °C
- 5. ymax = 6,539
- 6. y(3) = 3,778
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.