1.سهلة
مقتفٍ مشعّ عمر النصف له 15 يومًا. تحتوي العيّنة في البداية 10 mg. يتبع الاضمحلال dm/dt = −k·m. كم يتبقى m بعد 43 يومًا؟
m0 = 10 mgt½ = 15 dt = 43 d
m = mg
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تضمحلّ وفق dy/dt = −k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 48 عند t = 10 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(10) = 48
k = h⁻¹
3.متوسطة
قطعة فولاذ مطروقة عند 440 °C تُركت لتبرد في ورشة عند 29 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,03 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 21 min.
T0 = 440 °CTa = 29 °Ck = 0,03 min⁻¹t = 21 min
T = °C
4.متوسطة
كوب قهوة عند 82 °C تُرك في غرفة عند 19 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). مع k = 0,12 min⁻¹، أوجد درجة حرارتها T بعد 6 min.
T0 = 82 °CTa = 19 °Ck = 0,12 min⁻¹t = 6 min
T = °C
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + y′ + 4,25y = 8,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(1,5)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + y′ + 4,25y = 8,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(1.5) =
6.صعبة
حلّ مسألة القيمة الابتدائية y′ + 3y/x = 6x2 لـ x > 0، مع y(1) = −2. أوجد y(2).
y′ + 3y/x = 6x2y(1) = −2
y(2) =
مفتاح الإجابات
- 1. m = 1,371 mg
- 2. k = 0,09163 h⁻¹
- 3. T = 247,9 °C
- 4. T = 49,67 °C
- 5. y(1.5) = 2,902
- 6. y(2) = 7,625
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.