1.سهلة
يوصف نظام كتلة–نابض–مخمِّد بالمعادلة y″ + 0,6y′ + 9y = 0. قارنها مع y″ + 2ζωny′ + ωn²y = 0 وأوجد نسبة التخميد ζ.
y″ + 0,6y′ + 9y = 0
ζ =
ورقة عمل المعادلات التفاضلية مع الإجابات
2.سهلة
كمية تنمو وفق dy/dt = k·y مع k > 0. قيمتها 120 عند t = 0 و 144 عند t = 8 h. أوجد ثابت المعدل k بالـ h⁻¹.
y(0) = 120y(8) = 144
k = h⁻¹
3.متوسطة
علبة مشروب غازي عند 6 °C أُخرجت من الثلاجة إلى غرفة عند 27 °C. بعد 22 min تكون درجة حرارتها 16 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 24 °C؟
T0 = 6 °CTa = 27 °CT(22) = 16 °CT = 24 °C
t = min
4.متوسطة
كوب قهوة عند 93 °C تُرك في غرفة عند 23 °C. بعد 22 min تكون درجة حرارتها 28 °C. تتبع قانون نيوتن للتبريد، dT/dt = −k·(T − Tₐ). كم من الوقت بعد البداية، t، يلزم لبلوغ 54 °C؟
T0 = 93 °CTa = 23 °CT(22) = 28 °CT = 54 °C
t = min
5.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 2y′ + 5y = 25 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 2y′ + 5y = 25y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
6.صعبة
يخضع نظام للمعادلة y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5 عندما t ≥ 0، بادئًا من السكون: y(0) = 0 وy′(0) = 0. أوجد y(0,75)؛ الزوايا بالراديان.
y″ + 3y′ + 27,25y = 272,5y(0) = 0y′(0) = 0
y(0.75) =
مفتاح الإجابات
- 1. ζ = 0,1
- 2. k = 0,02279 h⁻¹
- 3. t = 66,21 min
- 4. t = 6,79 min
- 5. y(0.75) = 3,655
- 6. y(0.75) = 13,22
حلول كاملة خطوة بخطوة: تدرّب على هذا الموضوع في examproblems.com.